今回のテーマは「ピックの定理」
・問題
碁盤の目のように等間隔に道の通っている
下図のような形の街があります。
この街の中には交差点が37個あり、
辺の長さはそれぞれ以下の通りです。
外周の五角形 左上から時計回りに 5,√34,5,√26,√10
内部の三角形 左上から時計回りに √5,√13,√10
この街の面積を求めなさい。
補助線入り
補助線入りの図をすぐ下にアップしてしまいましたが、
各辺の値を見ると、整数を使った直角三角形の斜辺になっている事が
容易に分かるので、このような形になる事はすぐに推測できます。
あとは力ずくで解いてしまえます。
しかしピックの定理を使うとさらに簡単。
図形内にある格子点の数を i
辺上にあるの格子点の数を b とし、
この2つを使って図形の面積 S を表すと
S = i + b/2 -1
という式が成立するので、あっという間に正解が導出できます。
システムは簡単なのですが、この公式が見つけられたのは1899年。
意外と最近なんだよな……シンプルで美しい公式だと思うのは
僕だけでしょうか？
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